Математические модели распространения тяжелых металлов и радионуклеидов в пахотном слое орошаемых земель

 

Успенский С.В.,  Антонова В.А., Карнаухов В.М.

 

Московский Государственный университет природообустроуства

Россия, Москва

 

      Проблема. В настоящее времяч почва систематически загрязняется тяжелыми металлами и радионуклеидами, которые попадают в верхний слой и распространяются по всей толще пахотного слоя. Такие вещества как мышьяк (As), ртуть (Hq), свинец (Pb), цинк (Zn), кадмий (Cd), медь (Cu), хром (Cr), железо (Fu), марганец (Mn), магний (Mg), натрий (Na), калий (K) попадают в почву при внесении удобрений, орошении сточными водами и водами водоемов, атмосферными осадками. Радионуклеидное загрязнение почвы происходит в результате ядерных утечек при перевозке, утилизации и хранении ядерных компонентов, при авариях и военном применении ядерных снарядов.

    В работе рассматриваются две модели вертикального распространения тяжелых металлов и радионуклеидов с течением времени вглубь пахотного слоя. По результатам опытных данных определяются начальные концентрации в верхнем почвенном горизонте и строится теоретическая модель, численный алгоритм распределения искомых металлов и радионуклеидов в различных горизонтах с течением времени. В качестве приложения строится модель распределения металлов на некоторых участках орошаемых земель В Волгоградской области на основе опытных данных, полученных в 1991г. в ОПХ “Орошаемое”.

    Описание процесса. Рассмотрим физико-химический механизм вертикального распределения тяжелых металлов и радионклеидов. После попадания на почвенный покров тяжелые металлы и радионуклеиды включатся в процессы вертикального перемещения. Интенсивность вертикальной миграции определяется механическими и физико-химическими свойствами почвы, а также химической природой самих тяжелых металлов и радионуклеидов. Передвижение по вертикальному слою профилю почвы является следствием большого числа процессов, среди которых важнейшими является механический перенос частиц тяжелых металлов и радионуклеидов, перемещение свободных ионов или комплексов с органическими веществами в результате диффузии, конвективный перенос потоками воды, передвижение по корневым системам растений. Механический перенос тяжелых металлов и радионуклеидов и их продуктов деления особенно интенсивно протекает на почвенном слое после многократного перемешивания различными почво-обрабатывающими орудиями и орошения полей. При орошении или сильном дожде частицы с поверхности почвы могут проникнуть на значительную глубину внутрь пахотного слоя. Все это является наиболее значимыми факторами распространения тяжелых металлов и радионуклеидов по вертикальному профилю почвы. Передвижение влаги по пахотному слою определяется фильтрационными свойствами почвы, условиями термовлагопереноса капиллярного потока влаги. При перемещенях тяжелых металлов и радионуклеидов в почве осуществляются периодически повторяющиеся процессы адсорбации, десорбации и переноса тяжелых металлов и радионуклеидов с почвенным раствором. В периоды интенсивного испарения влаги в почве возникает восходящий поток воды, который захватывает тяжелые металлы и радионуклеидыи выносит их на поверхность. Все эти процессы носят сложный характер. Поэтому в дальнейшем рассмотрим случай, когда главным фактором вертикального перемещения тяжелых металлов и радионуклеидов служит диффузия.

     Основные уравнения. Рассмотрим основные уравнения, описывающие миграцию вещества по вертикальному профилю почвы. Введем следующие обозначения:

C – концентрация тяжелых металлов (радионуклеидов) в почве,

λ  - постоянная перехода тяжелых металлов (радионуклеидов) в нерастворимые соли (постоянная распада для радионуклеидов),

t -  время,

x  - глубина,

V_g – скорость диффузии,

V – скорость направленного вниз движения, обусловленного действием фильтрации, гравитации и другими причинами

    Тогда  имеет место следующее уравнение переноса

 

                                                            (1)

 

В дальнейшем мы рассмотрим законы миграции, которые определяются в основном диффузионными процессами. Диффузия представляет собой процесс переноса вещества из одной части системы в другую в результате беспорядочного движения молекул. Диффузионное передвижение ионов происходит в направлении градиента концентрации, измеряемогно в линейном случае изменением концентрации между двумя точками, находящимися друг от друга на расстоянии 1 см. Если изменение концентрации не подчиняется линейному закону, реальный градиент выражается производной   . Если выделить достаточно тонкие слои почвенного слоя и не рассматривать влияние орошения почвенного слоя, то в каждом слое можно приближенно считать диффузию основным фактором перемещения тяжелых металлов и радионуклеидов в этом слое. В этом случае, обозначая

 

D – коэффициент диффузии,

x – расстояние по нормали к плоскости раздела среза,

t – время,

 

получим, что передвижение тяжелых металлов и радионуклеидов за счет диффузии в каждом срезе может быть описано уравнением Фика:

 

                                                                                           (2)

 

Коэффициент диффузии D в почве рассматривают как меру сопротивления , оказываемого почвой передвижению тяжелых металлов и радионуклеидов. Чем это сопротивление больше, тем меньше абсолютное значение D. Величины D, определенные по результатам полевых опытов, называются кажущимися коэффициентами диффузии, так как они учитывают влияние разнообразных факторов на миграцию тяжелых металлов и радионуклеидов.

Разностная модель. Построим математическую модель распространения тяжелых металлов и радионуклеидов по вертикальному профилю почвенного слоя, разделенного на n элементарных срезов. Наложим на процесс передвижения рассматриваемого вещества в почве следующие условия.

1)           Рассматривается вертикальный профиль почвы, состоящий из поверхностного и пахотного слоев. Будем считать, что пахотный слой разделен на n элементарных слоев

 

2)           Распространение вещества в каждом слое почвы рассматривается как квазидиффузионный процесс. Под квазидиффузионным процессом будем понимать процесс, который в каждом слое подчиняется уравнению  (2) с кажущимся коэффициентом  D_k, k=1,2,…,n.

3)           Считается, что в начальный момент времени t₀ на поверхность почвы выпадает некоторое количество вещества (тяжелых металлов или радионуклеидов). В течение рассматриваемого периода времени дальнейших выпадений вещества на поверхность почвы не происходит.

    Обозначим через Q_i^m  количество вещества R в i-ом элементарном слое в промежуток времени [t_m-1,t_m],  i=1,…,n, t_m=t₀+m∆t, m=0,…,N, t_N=T.   Тогда можно составить уравнение баланса для каждого слоя. В i-ом слое количество вещества R  Q_i^m в промежуток времени [t_m-1,t_m]  будет равно количеству этого вещества  Q_i^m-1 в промежуток [t_m-2,t_m-1] плюс разность между количеством этого вещества  J_i,вх^m-1 , вошедшим в него из выше лежащего слоя и вышедшего из него в ниже лежащий слой J_i,вых^m-1 за промежуток времени [t_m-2,t_m-1]. Уравнение баланса для i-го слоя будет иметь следующий вид

 

                                                                             (3)

 

              Для потока вещества через единицу площади можно написать

 

                                                                                                            (4)

             Представим (4) в разностной форме

 

                                                                                    (5)

 

                                                                                    (6),

 

где                              -                                                                         (7)

линейная концентрация вещества в i –ом элементарном слое  в момент времени t_m-1,

D_i^m-1- коэффициент диффузии вещества в i-ом элементарном слое в момент времени t_m-1,

∆x  - толщина элементарного слоя,

∆t   - шаг по времени.

Подставив (5) и (6) в (3), получим

 

                                              (8)

 

Кроме (8) имеем для Q₀^m   и  Q_n^m:

 

                                                                                   (9)

                                                                                     (10)

 

Будем предполагать, что коэффициент диффузии мало меняется в каждом слое на протяжении времени [0,T]. Тогда, считая D_k в каждом слое постоянным, можно по двум опытным определениям Q_k⁰ и Q_k¹, где Q_k⁰ – начальные концентрации в k-ом слое в начальный момент t₀, а Q_k¹- концентрации вещества в момент времени t₁=t₀+∆t  в k –ом слое,

Определить коэффициент D_k, а затем, используя разностную схему, получить распределение концентрации в любой момент времени t_m.

Аналитическая модель. Построим математическую модель распространения тяжелых металлов и радионуклеидов в одном пахотном слое  G: . Рассмотрим смешанную задачу для уравнения Фика :

                                                                       (11)

                                                                                         (12)

                                                                                         (13)

 

Смешанная задача (11), (12), (13) для корректной разрешимости требует постановки еще одного условия при x=h. Поскольку такого условия нет, то будем рассматривать весь слой

G₁⁺:     при .

Итак, имеем задачу следующего вида:

                                                                       (14)

                                         (15)

                                                                                         (16).

 

Решение поставленной задачи (14)-(16) ищется в классе суммируемых функций  на

 методом Фурье с использованием косинус-преобразования Фурье

 

                                                    

В результате получим   при :

 

                                                                           (17)

 

где                  -     интегральная функция Лапласа.

Будем считать, что имеются опытные данные о концентрациях в начальный момент времени t₀ и в момент времени t₁ в пахотном слое  . Тогда из (17) можно получить

значение D. Полученное значение D позволяет затем найти закон распределения концентрации вещества R во всем рассматриваемом промежутке времени [0,T].

      На основании полученных моделей создана компьютерная программа, при помощи которой устанавливается закон миграции Na и K по опытным данным, полученных  на некоторых участках орошаемых земель в 1991г. в ОПХ “Орошаемое” Волгоградской области. Построенная программа может быть использована также для нахождения закона миграции различных тяжелых металлов и радионуклеидов при наличии двух опытных разновременных определений концентрации вещества.

      Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00750).